積分法（せきぶんほう）は、微積分学におけるもう一つの重要な部分であり、関数の累積的な効果や面積を求めるための方法です。以下に積分法の基本的な概念と重要なポイントをまとめます。
積分の基本概念
不定積分：
- ある関数$f(x)$の不定積分（原始関数） $F(x)$は、$F'(x) = f(x)$を満たす関数を指します。
- 数式で表すと、不定積分は次のように書かれます：
$$\int f(x) \, dx = F(x) + C$$
ここで、$C$は任意定数です。
定積分：
- 関数$f(x)$を区間$[a, b]$で積分すると、関数$f(x)$のグラフと$x$-軸で囲まれる部分の面積を求めることができます。
- 数式で表すと、定積分は次のように書かれます：
$$\int_a^b f(x) \, dx$$
基本定理：
- 微積分の基本定理によれば、不定積分$F(x)$を用いて定積分を次のように計算できます：
$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) – F(a)$$
積分法のルール
和の法則：
- 二つの関数$f(x)$と$g(x)$の和の積分は、それぞれの積分の和に等しいです。
$$\int (f(x) + g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx$$
積の法則（積分の部分積分）：
- 二つの関数$u(x)$と$v(x)$の積の積分は、部分積分を使って次のように求められます：
$$\int u(x)v'(x) \, dx = u(x)v(x) – \int u'(x)v(x) \, dx$$
置換積分：
- 変数変換を用いることで、積分を簡単にすることができます。例えば、$u = g(x)$と置換すると次のようになります：
$$\int f(g(x))g'(x) \, dx = \int f(u) \, du$$
具体的な例
多項式の積分：
- $f(x) = x^n$の積分は次のように求められます$( n \neq -1 )$：
$$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$
三角関数の積分：
- $f(x) = \sin(x)$の積分は$F(x) = -\cos(x) + C$です。
- $f(x) = \cos(x)$の積分は$F(x) = \sin(x) + C$です。
指数関数の積分：
- $f(x) = e^x$の積分は$F(x) = e^x + C$です。
積分法の応用
面積の計算：
- 関数 $f(x)$のグラフと$x$-軸で囲まれる部分の面積を求めるために、定積分を使用します。
物理量の計算：
- 速度関数$v(t)$の積分を取ることで、移動距離を求めることができます。また、加速度関数 ( a(t) ) の積分を取ることで、速度を求めることができます。
確率と統計：
- 確率密度関数の積分を用いて、確率や期待値などを計算します。
積分法は、数学的な理論を理解するだけでなく、現実の問題を解決するための強力なツールです。積分法の理解は、他の科学的および工学的分野においても非常に重要です。