微分法（びぶんほう）は、微積分学（微分と積分）の一部であり、数学における重要な概念の一つです。微分法は、関数の変化率を調べる方法であり、物理学や工学、経済学など様々な分野で応用されています。以下に微分法の基本的な概念と重要なポイントをまとめます。
微分の基本概念
導関数：
- ある関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ は、関数の変化率を表します。具体的には、非常に小さな変化 $\Delta x$ に対する関数の変化 $\Delta y$ の比率を表します。
- 数式で表すと、導関数は次のように定義されます：
$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) – f(x)}{\Delta x}$$
微分係数：
- 導関数$f'(x)$を具体的な点$x$で評価したものが微分係数と呼ばれます。
幾何学的意味：
- 導関数$f'(x)$は、関数$f(x)$のグラフ上の点$(x, f(x))$における接線の傾きを表します。
微分法のルール
和の法則：
- 二つの関数$f(x)$と$g(x)$の和の導関数は、それぞれの導関数の和に等しいです。
$$(f(x) + g(x))’ = f'(x) + g'(x)$$
積の法則：
- 二つの関数の積の導関数は、次のように求められます：
$$(f(x)g(x))’ = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$
商の法則：
- 二つの関数の商の導関数は、次のように求められます：
$$\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)’ = \frac{f'(x)g(x) – f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$
連鎖律：
- 合成関数$h(x) = f(g(x))$の導関数は次のように求められます：
$$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$
具体的な例
多項式の微分：
- $f(x) = x^n$の導関数は次のように求められます：
$$f'(x) = nx^{n-1}$$
三角関数の微分：
- $f(x) = \sin(x)$の導関数は$f'(x) = \cos(x)$です。
- $f(x) = \cos(x)$の導関数は$f'(x) = -\sin(x)$です。
指数関数の微分：
- $f(x) = e^x$の導関数は$f'(x) = e^x$です。
微分法の応用
速度と加速度：
- 物理学では、位置関数$s(t)$の時間微分$s'(t)$が速度を表し、さらにその時間微分$s”(t)$が加速度を表します。
最適化問題：
- 経済学や工学では、関数の極値（最大値や最小値）を求めるために微分法が使用されます。具体的には、導関数がゼロになる点（臨界点）を見つけ、その点での関数の値を評価します。
微分法はこれら以外にも多くの応用があります。微分法の理解は、他の数学的概念や実世界の問題を解決するための強力なツールとなります。