SLAM (Simultaneous Localization and Mapping) 技術は、移動ロボットや無人航空機などが未知の環境で自己位置を推定しながら、その環境の地図を同時に作成するための技術です。この技術は、ロボティクスや自動運転車、AR（拡張現実）/VR（仮想現実）など、多くの分野で重要な役割を果たしています。SLAM技術の数理的な基礎は、確率論、最適化理論、フィルタリング理論、計算幾何学などの分野にわたります。以下に主要な概念と数理的な基礎をまとめます。
1. 基本概念
- 自己位置推定 (Localization): ロボットが自身の位置を推定するプロセス。
- 地図作成 (Mapping): 環境の地図を作成するプロセス。
- 同時実行 (Simultaneous): 自己位置推定と地図作成を同時に行うこと。
2. 数理的基礎
2.1 確率論
SLAMは不確実性を伴うため、確率論が基本となります。ロボットの位置や地図情報は確率分布として表現されます。
- ベイズフィルタ: SLAMにおける基本的な枠組みであり、ロボットの状態（位置や姿勢）と地図の推定を更新します。
- 予測ステップ: ロボットの動作モデルに基づいて、次の状態の予測を行う。
- 更新ステップ: センサーからの観測データを使って、予測された状態を更新する。
2.2 最適化理論
SLAMでは、ロボットの軌跡と地図を最適化するために、誤差を最小化する問題として定式化されます。
- 最小二乗法 (Least Squares): 観測誤差を最小化するための標準的な手法。
- ガウス-ニュートン法: 最小二乗法を非線形問題に適用するための反復法。
2.3 フィルタリング理論
SLAMでは、オンラインでリアルタイムに自己位置推定と地図作成を行うため、フィルタリング技術が用いられます。
- カルマンフィルタ (Kalman Filter): 線形ガウス系における最適なフィルタリング手法。
- 拡張カルマンフィルタ (Extended Kalman Filter, EKF): 非線形システムに対応するためのカルマンフィルタの拡張。
- パーティクルフィルタ (Particle Filter): 高度に非線形で非ガウス分布の場合に適用されるフィルタリング手法。
2.4 計算幾何学
ロボットが環境内の特徴点（ランドマーク）を検出し、それを地図に登録するための技術。
- 特徴点抽出: 画像処理やレーザースキャンから特徴点を抽出するアルゴリズム。
- 特徴点マッチング: 同一の特徴点を異なる観測データから識別する技術。
3. SLAMアルゴリズムの種類
EKF-SLAM (Extended Kalman Filter SLAM)
拡張カルマンフィルタを用いたSLAM。
FastSLAM
パーティクルフィルタを利用し、効率的に自己位置推定と地図作成を行う手法。
Graph-Based SLAM
ロボットの軌跡と地図をグラフ構造として表現し、最適化を行う手法。
4. 応用分野
SLAM技術は様々な分野で応用されています。
- ロボティクス: 自律移動ロボットのナビゲーションと障害物回避。
- 自動運転車: 高精度な自己位置推定と環境認識。
- AR/VR: ユーザーの位置と環境情報をリアルタイムで把握。
5. まとめ
SLAM技術の数理は、確率論、最適化理論、フィルタリング理論、計算幾何学など、多岐にわたる分野の知識を融合したものです。各種アルゴリズムや応用分野において、その数理的な基礎は不可欠であり、SLAM技術の発展に寄与しています。